布尔代数布尔环每个布尔代数 (A,$land$,$lor$) 都引出一个环 (A,+,*)，通过定义 a + b = (a $land$ ¬b) $lor$ (b $land$ ¬a) (这个运算在集合论中叫做"对称差"在逻辑中叫做XOR(异或)) 和 a * b = a $land$ b

这个环的零元素符合布尔代数的 0；环的乘法单位元素是布尔代数的 1

这个环有对于 A 中的所有的 a 保持 a * a = a 的性质；有这种性质的环叫做布尔环

反过来，如果给出布尔环A，我们可以把它转换成布尔代数，通过定义 x $lor$ y = x + y + xy 和 x $land$ y = xy

因为这两个运算是互逆的，我们可以说每个布尔环引发一个布尔代数，或反之

此外，映射 f : A → B 是布尔代数的同态，当且仅当它是布尔环的同态

布尔环和代数的范畴是等价的

布尔代数 A 的理想是一个子集 I，对于在 I 中的所有 x,y 我们有 x $lor$ y 在 I 中，并且对于在 A 中的所有 a 我们有 a $land$ x 在 I 中

理想的概念符合在布尔环 A中环理想的概念

A 的理想 I 叫做素理想，如果 I ≠ A；并且如果 a $land$ b 在 I 中总是蕴涵 a 在 I 中或 b 在 I 中

A 的理想 I 叫做极大理想，如果 I ≠ A 并且真正包含 I 的唯一的理想是 A 自身

这些概念符合布尔环A 中的素理想和极大理想的环理论概念

理想的对偶是滤子

布尔代数 A 的滤子是子集 p，对于在 p 中的所有 x,y 我们有 x $land$ y 在 p 中，并且对于在 A 中的所有 a，如果 a $lor$ x = a 则 a 在 p 中

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