公理系统例子欧几里得公理任意两个点可以通过一条直线连接

任意线段能无限延伸成一条直线

给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆

所有直角都全等

若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交

利用这些公理可以得到欧几里得几何学

修改第五条公理可以得到非欧几何学

皮亚诺公理1.0是自然数；2.每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，0的后继数是1，1的后继数是2等等）；3.0不是任何自然数的后继数；4.如果b、c的后继数都是自然数a，那么b=c；5.任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数0是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数都真

（这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性）根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统

柯尔莫果洛夫公理假设我们有一个基础集Ω，其子集F为西格马代数，和一个给F的要素指定一个实数的函数P

F的要素是Ω的子集，称为“事件”

第一公理 对于任意一个集合E∈F， 即对于任意的事件P(E)∈[0,1]

即，任一事件的概率都可以用0到1区间上的一个实数来表示

第二公理 P(Ω) = 1 , 即，整体样本集合中的某个基本事件发生的概率为1

更加明确地说，在样本集合之外已经不存在基本事件了

这在一些错误的概率计算中经常被小看；如果你不能准确地定义整个样本集合，那么任意子集的概率也不可能被定义

第三公理 任意两两不相交事件E1, E2, ...的可数序列满足P(E1 ∪ E2 ∪ ...) = ∑P(Ei)

即, 不相交子集的并的事件集合的概率为那些子集的概率的和

这也被称为是σ可加性

如果存在子集间的重叠，这一关系不成立

这三条公理让概率论建立在了坚实的数学基础上

牛顿运动定律牛顿第一定律：任何一个物体在不受外力或受平衡力的作用时，总是保持静止状态或匀速直线运动状态，直到有作用在它上面的外力迫使它改变这种状态为止

满足牛顿第一定律的参考系叫惯性系牛顿第二定律：在惯性系中，物体的加速度跟物体所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同

牛顿第三定律：两个物体之间的作用力和反作用力，在同一直线上，大小相等，方向相反

利用牛顿三定律，可以建立牛顿力学

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