曲线积分定义设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧，f(x，y)在L上有界，在L上任意插入一点列 把L 分成 n个小弧段 的长度为ds，又 是L上的任一点，作乘积 ，并求和即 ，记λ=max(ds) ，若 的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及 在L的取法无关，则称极限值为f(x，y)在L上对弧长的曲线积分，记为： ；其中f(x，y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分
（上述定义并不完全严谨，给出新的定义）：在矢量场A中，任取一连接点P0与P1的光滑曲线c，此时向量OP0记作R0，向量OP1记作R1，用ΔR表示位于曲线C的切线上，以切点为始点而模 (其中ΔR为粗体）等于弧元ΔR的小矢量，作标积 ，A是ΔR始点的矢量， 是A在弧的切线 上的投影
将所有弧元ΔR的标积相加，并使弧元数量无限制增加且使得每一弧元长度趋向于0，求U的极限，所以
称U为矢量A沿曲线c的曲线积分
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