物理系统量子力学询问一个物理实体的话，第一个问题可能就是“它在哪里？”根据日常经验，我们可以很精确的回答这个问题，只是要受测量仪器质量的限制

在极小物体的这个范围，有某些基本的限制，必须用量子力学来回答那个问题

从核心上说量子力学涉及能量

由于质量和能量的等价性（想一想爱因斯坦的著名公式，其中c是光速米/秒），量子力学还涉及有质量的粒子

由于光子能量和其频率之间的关系（E=hv，其中h是普朗克常数，焦－秒），量子力学还涉及到光子

根据量子力学，“它在哪儿”这个问题不能确定地回答

那我们如何处理这个不确定性呢？用分配概率的方法

由于空间的连续性质和其范围上的无限性，这有一点复杂，但对于事件的无限集合来说处理思想是一样的

概率密度非负，它对全体空间的积分为1（这就像所有互斥且完备的事件的概率之和等于1）

所以在量子力学里，一个物体用随时间演变的一个“概率点”来表示

它怎么演变呢？基本的方程不是根据概率密度写出的，而是根据空间和时间的另一个函数写出的，由它可以求出概率密度

考虑一下概率密度的平方根，把它看作是空间和时间的一个函数

这样为了增加一些一般性，令平方根可正可负—将其平方就得到概率密度，每个人都会

下一步，为了更大的一般性，使这个平方根在复平面内有任意的相角，这样它就有了实部和虚部

我们不再叫它平方根，而是“波函数”，它使空间r和时间t的一个函数

概率密度就是波函数绝对值的平方),(trΨ ),(),(),(2trtrtrΨΨ=Ψ? （11.1）其中星号?表示复数共扼

前面涉及概率时，我们从没有根据什么初等概念表示它们

为什么需要这样做呢？因为量子力学的基本方程涉及

为什么？别这么问

这只是量子力学众多怪异性质中的一个

),量子力学的基本方程是薛定谔方程，它由奥地利物理学家(1887-1961)发现

ErwindingeroSchr&&1 ),()(),(2),(222trrVtrmttriΨ+Ψ??=?Ψ?ηη （11.2）其中i是（虚数的）-1平方根，m是物体质量，是势能函数，它的空间梯度是作用在物体上的力的复数，)(rV3410054.12?×==πhη焦－秒

要注意这个方程包含着空间和时间的偏微分

对时间的微分是第一阶，对空间的微分是第二阶

拉普拉斯算子定义为2? x^2?fy?+y^2?fz?+z^2?fx?=? （11.3）其中x，y和z是三个空间维度

这个方程一般通过把它乘以再对空间积分来解释

然后左侧视为全部能量，右侧视为动能和势能之和（假设波函数被规范化，这样),(tr?Ψ2),(trΨ的空间积分为1，这是根据概率密度解释这个方程所需的一条性质）

这个方程令人迷惑地简单

它是),(trΨ的线性方程，就是说如果1和2是解，那么它们任意一个线性组合也是解2211Ψ+Ψ=Ψααtotal （11.4）其中1α和2α是复常数（如果这个线性组合得到是一个有效的概率分布，那么1α和2α的值必须是使2),(trΨ的空间积分为1的那样的值）

然而，除了最简单的情况以外，这个方程不能以闭合形式解得

)(rV严格地说，该方程只有在物体在整个宇宙中讨论时才真的正确，这种情况下因为太复杂方程就没有用了

但是，它通常用做近似情况，这时把宇宙看作两部分——正计算其波函数的一个小的部分（该物体）和剩余的宇宙（“外界环境”），它对物体的影响被假定用表示

注意这个物体可能是一个单个的光子、一个电子或两个以上的例子，即它不必符合单个粒子的正规概念

)(rV一个物体会与它的外界环境互相影响

很自然地，如果一个物体改变了它的环境（如果要测量物体的某个属性时就会发生），那么环境就会改变这个物体

量子力学的一个很有趣的结论是测量了一个物体某个属性后，它通常会有一个不同的波函数，结果就不能确定物体以前的某些属性

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