世界三大数学猜想研究历史n=3欧拉证明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理
n=4费马自己证明了n=4的情形
n=51825年，狄利克雷和勒让德证明了n=5的情形，用的是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理
n=71839年，法国数学家拉梅证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合的很紧密的巧妙工具，只是难以推广到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明，但没有成功
理想数库默尔在1844年提出了“理想数”概念，他证明了：对于所有小于100的素指数n，费马大定理成立，此一研究告一阶段
1849年德国数学家库默尔，用近世代数的方法，引入自己发现的“理想数”的概念，指出费马问题只可能在n等于某些值时，才有可能不正确，所以只需对这些值进行研究，尽管他用一生时间研究这个问题，虽然没有最终解决，但是他提出一整套的数学理论，推动了数学的发展
到20世纪上半叶，数学家把证明推到奇数n=619，1976年美国数学家证明了2
莫德尔猜想1922年，英国数学家莫德尔提出一个著名猜想，人们叫做莫德尔猜想
按其最初形式，这个猜想是说，任一不可约、有理系数的二元多项式，当它的“亏格”大于或等于2时，最多只有有限个解
记这个多项式为f(x，y），猜想便表示：最多存在有限对数偶xi，yi∈Q，使得f(xi，yi)=0
后来，人们把猜想扩充到定义在任意数域上的多项式，并且随着抽象代数几何的出现，又重新用代数曲线来叙述这个猜想了
因此，法尔廷斯实际上证明的是：任意定义在数域K上，亏格大于或等于2的代数曲线最多只有有限个K一点
数学家对这个猜想给出各种评论，总的看来是消极的
1979年利奔波姆说：“可以有充分理由认为，莫德尔猜想的获证似乎还是遥远的事
”对于“猜想”，1980年威尔批评说：“数学家常常自言自语道：要是某某东西成立的话，‘这就太棒了’（或者‘这就太顺利了’）
有时不用费多少事就能够证实他的推测，有时则很快否定了它
但是，如果经过一段时间的努力还是不能证实他的预测，那么他就要说到‘猜想’这个词，既便这个东西对他来说毫无重要性可言
绝大多数情形都是没有经过深思熟虑的
”因此，对莫德尔猜想，他指出：我们稍许来看一下“莫德尔猜想”
它所涉及的是一个算术家几乎不会不提出的问题；因而人们得不到对这个问题应该去押对还是押错的任何严肃的启示
然而，时隔不久，1983年夏天，德国伍伯塔尔（Wappertal）大学29岁数学讲师联邦德国数学家格尔德·法尔廷斯（Gerd·Faltings）证明了莫德尔猜想，从而翻开了费马大定理研究的新篇章，人们对它有了全新的看法
在法尔廷斯的文章里，还同时解决了另外两个重要猜想，即台特和沙伐尔维奇猜想，它们同莫德尔猜想具有同等重大意义
法尔廷斯获得1986年菲尔兹奖
这里主要解释一下莫德尔猜想，至于证明就不多讲了
所谓代数曲线，粗略一点说，就是在包含K的任意域中，f(x，y)=0的全部解的集合
令F(x，y，z）为d次齐次多项式，其中d为f(x，y）的次数，并使F(x，y，1）=f(x，y），那么f(x，y）的亏格g为g≥（d-1）（d-2）/2当f(x，y）没有奇点时取等号
费马多项式x^n+y^n-1没有奇点，其亏格为（n-1）（n-2）/2
当n≥4时，费马多项式满足猜想的条件
因此，xn+yn=zn最多只有有限多个整数解
为什么猜想中除去了f(x，y）的亏格为0或1的情形，即除去了f(x，y）的次数d小于或等于3的情形呢？我们说明它的理由
d=1时，f(x，y)=ax+by+c显然有无穷多个解
d=2时，f(x，y）可能没有解，例如f(x，y)=x2+y2+1；但是如果它有一个解，那么必定有无穷多个解
我们从几何上来论证这一点
设P是f(x，y）解集合中的一点，令l表示一条不经过点P的直线（见上图）
对l上坐标在域K中的点Q，直线PQ通常总与解集合交于另一点R
当Q在l上取遍无穷多个K—点时，点R的集合就是f(x，y）的K—解的无穷集合
例如把这种方法用于x2+y2-1，给出了熟知的参数化解：当F(X，Y，Z）为三次非奇异（即无奇点）曲线时，其解集合是一个所谓椭圆曲线
我们可用几何方法做出一个解的无穷集
但是，对于次数大于或等于4的非奇异曲线F，这种几何方法是不存在的
虽然如此，却存在称为阿贝尔簇的高维代数簇
研究这些阿贝尔簇构成了法尔廷斯证明的核心
法尔廷斯在证明莫德尔猜想时，使用了沙伐尔维奇猜想、雅可比簇、高、同源和台特猜想等大量代数几何知识
莫德尔猜想有着广泛的应用
比如，在法尔廷斯以前，人们不知道，对于任意的非零整数a，方程y2=x5+a在Q中只有有限个有限组互质1983年，Gerd Faltings证明了Mordell猜测，从而得出当n > 2时（n为整数），只存在有限组互质的a,b,c使得an + bn = cn
Gerhard Frey1986年，Gerhard Frey 提出了“ ε-猜想”：若存在a,b,c使得a^n + b^n = c^n，即如果费马大定理是错的，则椭圆曲线y^2 = x(x - a^n)(x + b^n) 会是谷山-志村猜想的一个反例
Frey的猜想随即被Kenneth Ribet证实
此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及模形式的密切关系
怀尔斯和泰勒1995年，怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山-志村猜想，Frey的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明了费马大定理
怀尔斯怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性
他用了七年时间，在不为人知的情况下，得出了证明的大部分；然后于1993年6月在剑桥大学的一个讨论班上宣布了他的证明，并瞬即成为世界头条
不过在审批证明的过程中，专家发现了一个缺陷
怀尔斯和泰勒然后用了近一年时间改进了它，在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功，这部份的证明与岩泽理论有关
他们的证明刊在1995年的数学年刊（en:Annals of Mathematics）之上
谷山——志村猜想1955年，日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线于另一类数学家们了解更多的曲线——模曲线之间存在着某种联系；谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓“谷山——志村猜想”，这个猜想说明了：有理数域上的椭圆曲线都是模曲线
这个很抽象的猜想使一些学者搞不明白，但它又使“费马大定理”的证明向前迈进了一步
两者关系1985年，德国数学家弗雷指出了谷山——志村猜想”和费马大定理之间的关系；他提出了一个命题 ：假定“费马大定理”不成立，即存在一组非零整数A,B,C，使得A的n次方+B的n次方=C的n次方（n>2），那么用这组数构造出的形如y的平方=x(x+A的n次方）乘以（x-B的n次方）的椭圆曲线，不可能是模曲线
尽管他努力了，但他的命题和“谷山——志村猜想”矛盾，如果能同时证明这两个命题，根据反证法就可以知道“费马大定理”不成立，这一假定是错误的，从而就证明了“费马大定理”
但当时他没有严格证明他的命题
弗雷命题1986年，美国数学家里贝特证明了弗雷命题，于是希望便集中于“谷山——志村猜想”
完成证明1993年6月，英国数学家怀尔斯证明了：对有理数域上的一大类椭圆曲线，“谷山——志村猜想”成立
由于他在报告中表明了弗雷曲线恰好属于他所说的这一大类椭圆曲线，也就表明了他最终证明了“费马大定理”；但专家对他的证明审察发现有漏洞，于是，怀尔斯又经过了一年多的拼搏，于1994年9月彻底圆满证明了“费马大定理”
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