不动点理论基本内容压缩映射原理设X是一个完备的度量空间，映射ƒ:Χ→Χ 把每两点的距离至少压缩λ倍，即d(ƒ(x),ƒ(y))≤λd(x,y)，这里λ是一个小于1的常数，那么ƒ必有而且只有一个不动点,而且从Χ的任何点x0出发作出序列x1=ƒ(x0)，x2=ƒ(x1),...,xn=ƒ(xn-1)...，这序列一定收敛到那个不动点

这条定理是许多种方程的解的存在性、惟一性及迭代解法的理论基础

由于分析学的需要，这定理已被推广到非扩展映射、概率度量空间、映射族、集值映射等许多方面

Brouwer不动点定理(1910年)设Χ是欧氏空间中的紧凸集,那么Χ到自身的每个连续映射都至少有一个不动点

用这定理可以证明代数基本定理：复系数的代数方程一定有复数解

把布劳威尔定理中的欧氏空间换成巴拿赫空间，就是绍德尔不动点定理(1930)，常用于偏微分方程理论

这些定理可以从单值映射推广到集值映射，除微分方程理论外还常用于对策论和数理经济学

Kakutani不动点定理设C是Rn中的紧凸集, f为从C到C的非空凸子集的上半连续的点-集映射，则至少存在一点x*, 使得x*∈f(x*)

1941年，Kakutani把Brouwer不动点定理推广到有限维空间中多值映射的情形

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