勒内·笛卡尔数学方面笛卡尔对数学最重要的贡献是创立了解析几何
在笛卡尔时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位
笛卡尔致力于代数和几何联系起来的研究，并成功地将当时完全分开的代数和几何学联系到了一起
于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学
他的这一成就为微积分的创立奠定了基础，而微积分又是现代数学的重要基石
解析几何仍是重要的数学方法之一
笛卡尔不仅提出了解析几何学的主要思想方法，还指明了其发展方向
在他的著作《几何》中，笛卡尔将逻辑，几何，代数方法结合起来，通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的新方法，从此，数和形就走到了一起，数轴是数和形的第一次接触
并向世人证明，几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质
笛卡尔引入了坐标系以及线段的运算概念
他创新地将几何图形‘转译’代数方程式，从而将几何问题以代数方法求解，这就是“解析几何”或称“坐标几何”
解析几何的创立是数学史上一次划时代的转折
而平面直角坐标系的建立正是解析几何得以创立的基础
直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几何概念可以用代数形式来表示，几何图形也可以用代数形式来表示，于是代数和几何就这样合为一家人了
此外，使用的许多数学符号都是笛卡尔最先使用的，这包括了已知数a, b, c以及未知数x, y, z等，还有指数的表示方法
他还发现了凸多面体边、顶点、面之间的关系，后人称为欧拉-笛卡尔公式
还有微积分中常见的笛卡尔叶形线也是他发现的
图片： 笛卡尔坐标系在数学里，笛卡尔坐标系（Cartesian坐标系），也称直角坐标系，是一种正交坐标系
二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0 点重合的数轴构成的
在平面内，任何一点的坐标 是根据数轴上 对应的点的坐标设定的
在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系
采用直角坐标，几何形状可以用代数公式明确的表达出来
几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守这代数公式
笛卡尔坐标系是由法国数学家勒内·笛卡尔创建的
1637年，笛卡尔发表了巨作《方法论》
这本专门研究与讨论西方治学方法的书，提供了许多正确的见解与良好的建议，对于后来的西方学术发展，有很大的贡献
为了显示新方法的优点与果效，以及对他个人在科学研究方面的帮助，在《方法论》的附录中，他增添了另外一本书《几何》
有关笛卡尔坐标系的研究，就是出现于《几何》这本书内
笛卡尔在坐标系这方面的研究结合了代数与欧几里得几何，对于后来解析几何、微积分、与地图学的建树，具有关键的开导力
轶事：蜘蛛织网和平面直角坐标系的创立据说有一天，笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形和代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来
突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来
一会功夫，蜘蛛又顺这丝爬上去，在上边左右拉丝
蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗
他想，可以把蜘蛛看作一个点
他在屋子里可以上，下，左，右运动，能不能把蜘蛛的每一个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以在这三根数轴上找到有顺序的三个数
反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找到一点P与之对应，同样道理，用一组数（X，Y）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组两个有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形
笛卡尔符号法则笛卡尔符号法则首先由笛卡尔在他的作品《La Géométrie》中描述，是一个用于确定多项式的正根或负根的个数的方法
如果把一元实系数多项式按降幂方式排列，则多项式的正根的个数要么等于相邻的非零系数的符号的变化次数，要么比它小2的倍数
如5,3,1或4,2,0
而负根的个数则是把所有奇数次项的系数变号以后，所得到的多项式的符号的变化次数，或者比它小2的倍数
特殊情况：注意如果知道了多项式只有实数根，则利用这个方法可以完全确定正根的个数
由于零根的重复度很容易计算，因此也可以求出负根的个数
于是所有根的符号都可以确定
欧拉-笛卡尔公式欧拉-笛卡尔公式，是几何学中的一个公式
该公式的内容为：在任意凸多面体，设V为顶点数，E为棱数，F是面数，则V−E+F=2
该公式最早由法国数学家笛卡尔于1635年左右证明，但不为人知
后瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1750年独立证明了这个公式
1860年，笛卡尔的工作被发现，此后该公式遂被称为欧拉-笛卡尔公式
笛卡尔叶形线笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡尔在 1638年提出
笛卡尔叶形线的隐式方程为极坐标中方程分别为这个名字来自拉丁文的folium，意思是 "leaf"（叶子）
曲线的特征:利用隐函数的求导法则，我们可以求出y'：利用直线的点斜式方程，我们可以求出点（ ）处的切线方程：水平和竖直切线：当 时，笛卡尔叶形线的切线是水平的
所以：当 时，笛卡尔叶形线的切线是竖直的
所以：这可以通过曲线的对称来解释
我们可以看到，曲线有两条水平切线和两条竖直切线
笛卡尔叶形线关于y=x对称，所以如果水平切线有坐标（ ）的话，则一定有一个对应的竖直切线，坐标为（ ）
渐近线:曲线有一条渐近线：x+y+a=0这个渐近线的斜率是-1，x截矩和y截矩都是-a
笛卡尔与克里斯汀心形线（即心脏线）的故事心脏线未有严谨证据证明心脏线是由笛卡尔发明
心脏线是有一个尖点的外摆线
也就是说，一个圆沿着另一个半径相同的圆滚动时，圆上一点的轨迹就是心脏线
心脏线是外摆线的一种，其n为2
它亦可以极坐标的形式表示：r= 1 + cosθ
这样的心脏线的周界为8，围得的面积为
心脏线亦为蚶线的一种
在曼德博集合正中间的图形便是一个心脏线
心脏线的英文名称“Cardioid”是 de Castillon 在1741年的《Philosophical Transactions of the Royal Society》发表的；意为“像心脏的”
在笛卡尔坐标系中：心脏线的参数方程为：其中r是圆的半径
曲线的尖点位于（r，0）在极坐标系中的方程为：ρ（θ）=2r（1-cosθ）面积：对于其在极坐标中的方程有待考察，此处仅供参考
《数学的故事》里面说到了数学家笛卡尔的爱情故事
笛卡尔于1596年出生在法国，欧洲大陆爆发黑死病时他流浪到瑞典，认识了瑞典一个小公国18岁的小公主克里斯蒂娜（Kristina），后成为她的数学老师，日日相处使他们彼此产生爱慕之心，公主的父亲国王知道了后勃然大怒，下令将笛卡尔处死，后因女儿求情将其流放回法国，克里斯汀公主也被父亲软禁起来
笛卡尔回法国后不久便染上黑死病，他日日给公主写信，因被国王拦截，克里斯汀一直没收到笛卡尔的信
笛卡尔在给克里斯汀寄出第十三封信后就气绝身亡了，这第十三封信内容只有短短的一个公式：r=a（1-sinθ）
国王看不懂，觉得他们俩之间并不是总是说情话的，大发慈悲就把这封信交给一直闷闷不乐的克里斯汀，公主看到后，立即明了恋人的意图，她马上着手把方程的图形画出来，看到图形，她开心极了，她知道恋人仍然爱着她，原来方程的图形是一颗心的形状
公主在纸上建立了极坐标系，用笔在上面描下方程的点，看到了方程所表示的心脏线，理解了笛卡尔对自己的深深爱意
这也就是著名的“心形线”
国王死后，克里斯蒂娜登基，立即派人在欧洲四处寻找心上人，无奈斯人已故，先她走一步了，徒留她孤零零在人间……据说这封享誉世界的另类情书还保存在欧洲笛卡尔的纪念馆里
在历史上，笛卡尔和克里斯蒂娜的确有过交情
但笛卡尔是1649年10月4日应克里斯蒂娜邀请才来到瑞典，而当时克里斯蒂娜已成为了瑞典女王
笛卡尔与克里斯蒂娜谈论的主要是哲学问题而不是数学
有资料记载，由于克里斯蒂娜女王时间安排很紧，笛卡尔只能在早晨五点与她探讨哲学
笛卡尔真正的死因是因天气寒冷加上过度操劳患上的肺炎，而不是黑死病
解析几何文艺复兴使欧洲学者继承了古希腊的几何学，也接受了东方传入的代数学
利学技术的发展，使得用数学方法描述运动成为人们关心的中心问题
笛卡尔分析了几何学与代数学的优缺点，表示要去“寻求另外一种包含这两门科学的好处，而没有它们的缺点的方法”
在《几何学》（是《方法论》中的一部分）卷一中，他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的距离，用坐标来描述空间上的点
他进而创立了解析几何学，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来实现发现几何性质，证明几何性质
笛卡尔把几何问题化成代数问题，提出了几何问题的统一作图法
为此，他引入了单位线段，以及线段的加、减、乘、除、开方等概念，从而把线段与数量联系起来，通过线段之间的关系，“找出两种方式表达同一个量，这将构成一个方程”，然后根据方程的解所表示的线段间的关系作图
在卷二中，笛卡尔用这种新方法解决帕普斯问题时，在平面上以一条直线为基线，为它规定一个起点，又选定与之相交的另一条直线，它们分别相当于x轴、原点、y轴，构成一个斜坐标系
那么该平面上任一点的位置都可以用（x,y）惟一地确定
帕普斯问题就化成了一个含两个未知数的二次不定方程
笛卡尔指出，方程的次数与坐标系的选择无关，因此可以根据方程的次数将曲线分类
《几何学》一书提出了解析几何学的主要思想和方法，标志着解析几何学的诞生
此后，人类进入变量数学阶段
在卷三中，笛卡尔指出，方程可能有和它的次数一样多的根，还提出了著名的笛卡尔符号法则：方程正根的最多个数等于其系数变号的次数；其负根的最多个数（他称为假根）等于符号不变的次数
笛卡尔还改进了韦达创造的符号系统，用a,b,c,… 表示已知量，用x,y,z,…表示未知量
解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合
笛卡尔的这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域
正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数
有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了
”
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