不动点理论不动点指数不动点的个数有两种数法

代数上通常说n次复多项式有n个复根，是把一个k重根算作k个根的;如果不把重数统计在内，根的个数就可以小于n

推广根的重数概念，可以定义不动点的指数，它是一个整数，可正可负可零，取决于映射在不动点附近的局部几何性质

一个映射的所有不动点的指数的总和，称为这映射的不动点代数个数，以别于不动点的实际个数

莱夫谢茨不动点定理:设Χ是紧多面体,ƒ:Χ→Χ是映射,那么ƒ的不动点代数个数等于ƒ的莱夫谢茨数L(ƒ)，它是一个容易计算的同伦不变量，可以利用同调群以简单的公式写出

当L(ƒ)≠0时，与ƒ同伦的每个映射都至少有一个不动点

这个定理既发展了布劳威尔定理，也发展了关于向量场奇点指数和等于流形的欧拉数的庞加莱－霍普夫定理，把它进一步推广到泛函空间而得的勒雷－绍德尔参数延拓原理，早已成为偏微分方程理论的标准的工具

J.尼尔斯1927年发现，一个映射ƒ 的全体不动点可以自然地分成若干个不动点类，每类中诸不动点的指数和都是同伦不变量

指数和不为0的不动点类的个数,称为这映射的尼尔斯数N(ƒ)

只要Χ是维数大于2的流形，N(ƒ)恰是与 ƒ同伦的映射的最少不动点数

这就提供了研究方程的解的实际个数（而不只是代数个数）的一种方法

莱夫谢茨定理的一个重要发展是关于微分流形上椭圆型算子与椭圆型复形的阿蒂亚－辛格指标定理与阿蒂亚-博特不动点定理

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