单位元例子集合运算单位元实数+（加法）0实数·（乘法）1实数a（幂）1（只为右单位元）矩阵+（加法）零矩阵方阵·（乘法）单位矩阵所有从集合M映射至其自身的函数∘ （函数复合）单位函数所有从集合M映射至其自身的函数* （卷积）δ（狄拉克δ函数）字串串接空字元串扩展的实轴最小值∞扩展的实轴最大值-∞集合M的子集∩（交集）M集合∪（并集）{ }（空集）布尔逻辑∧（逻辑与）⊤（真值）布尔逻辑∨（逻辑或）⊥（假值）闭二维流形#（连通和）S²只两个元素{e,f}* 定义为e*e=f*e=e且f*f=e*f=fe和f都是左单位元，但不存在右单位元和双边单位元如最后一个例子所示，有若干个左单位元是可能的，且事实上，每一个元素都可以是左单位元

同样地，右单位元也一样

但若同时存在有右单位元和左单位元，则它们会相同且只存在单一个双边单位元

要证明这个，设l为左单位元且r为右单位元，则l=l*r=r

特别地是，不存在两个以上的单位元

若有两个单位元e和f的话，则e*f必同时等于e和f

一个代数没有单位元也是有可能的

最一般的例子为向量的内积和外积

前者缺乏单位元的原因在于相乘的两个元素都会是向量，但乘积却会是个标量

而外积缺乏单位元的原因则在于任一非零外积的方向必和相乘的两个向量相正交－因此不可能得出一个和原向量指向同方向的外积向量

以上内容由大学时代综合整理自互联网，实际情况请以官方资料为准。