自然对数反函数历史上自然对数y=lnx的产生要比e要早些，当时人们对于微分和不定积分的求法已经熟知，并且很早就得到了幂函数的不定积分表达式

但对于n=-1的情况，因n=-1代入幂函数的不定积分表达式中将使分母为0，所以该如何求原函数，或者说到底该如何积分，数学家们采用了多种方法均无法得到满意的回答

例如采用分部积分法，两边减掉，将得到0=1的结论

于是数学家们想到了利用积分变限函数来给出的原函数，即定义一个新的函数根据这个定义立刻可以知道

并且根据可导必连续的性质，lnx在(0,+∞)上处处连续、可导

其导数为(1/x)>0，所以在(0,+∞)单调增加

又根据反常积分和分别发散至可知，函数的值域为R

虽然这与现代对数函数的运算法则和性质相符，但当时人们并没有意识到这就是对数函数，并且以e为底

接下来人们便开始考虑y=lnx的反函数的问题

设y=lnx的反函数为x=f(y)，由反函数的求导法则可知，如果用x来表示自变量，y来表示因变量，那么自然对数的反函数y=f(x)满足一个非常重要的性质：即这个函数求导后仍得到它本身，并且当x=0时，y=1，我们把这个函数写作

由反函数的性质可知y=exp(x)是定义在R上的单调递增并且处处连续、可微的函数，其值域为(0,+∞)

由于exp(x)求导后得到它自身并且exp(0)=1，我们便可不断地重复该步骤，通过幂级数的知识可知exp(x)能在R上展开成麦克劳林级数：那为什么后来人们会发现 呢？这是因为当人们在求指数函数y=ax的导数时，采用了这样的方法：根据复合函数的求导法则，

当a=e时，

上文说过，在发明自然对数时，人们不知道y=lnx与e之间的关系，所以不知道lne=1

但是，利用 ，结合归结原则有 ，于是：所以：由于 与 求导以后都得到 ，根据原函数的性质， ，C为积分常数

将x=0代入等式两端，有1=1+C，C=0，即证明了

数学家们才恍然大悟，原来 与 有着千丝万缕的联系，并且知道了 是对数函数的一种，其底为e

又利用 ，得到了令x=1，则又得到了一个关于e的定义式：当然，根据 ，也可以将e定义为使 的x的取值

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