lim数列极限设 {Xn} 为实数列，a 为定数

若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时总有∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限，并记作，或Xn→a（n→∞）读作“当 n 趋于无穷大时，{Xn} 的极限等于 或 趋于 a”．若数列 {Xn} 没有极限，则称 {Xn} 不收敛，或称 {Xn} 为发散数列．该定义常称为数列极限的 ε—N定义

对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性

定理1：如果数列{Xn}收敛，则其极限是唯一的

定理2：如果数列{Xn}收敛，则其一定是有界的

即对于一切n（n=1，2……），总可以找到一个正数M，使|Xn|≤M

对定义的理解：1、ε的任意性　定义中ε的作用在于衡量数列通项与常数a的接近程度

ε越小，表示接近得越近；而正数ε可以任意地变小，说明xn与常数a可以接近到任何不断地靠近的程度

但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它用函数规律来求出N;又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε

同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数

2、N的相应性　一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性

但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使成立）

重要的是N的存在性，而不在于其值的大小

3、从几何意义上看，“当n>N时，均有不等式成立”意味着：所有下标大于N的都落在(a-ε，a+ε)内；而在(a-ε，a+ε)之外，数列{xn} 中的项至多只有N个（有限个）

换句话说，如果存在某ε0>0，使数列{xn} 中有无穷多个项落在(a-ε0，a+ε0) 之外，则{xn} 一定不以a为极限

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