数学优质课实现数学化什么是数学化数学化是弗赖登塔尔数学教育思想的核心

弗赖登塔尔说，“用数学方法把实际材料组织起来，这在今天叫做数学化

”又指出，“只有用逻辑关系建立结构，它才成为数学，而这个过程就是数学化

”数学化是有层次的，一般而言，由低到高，有两个层次：一是横向数学化，即把生活世界引向符号世界；二是纵向数学化，即在符号世界里，符号生成、重塑和被使用

也可以这样理解：横向数学化生成生活与数学的联系，纵向数学化生成抽象数学知识之间的联系

在弗赖登塔尔看来，没有数学化就没有数学，对数学的教与学，也就围绕着数学化来展开

如何实现数学化案例：教学一年级内容“在两个箱子里分别装着9瓶和5瓶牛奶，一共有几瓶牛奶？”可以抽象成一个简单的数学问题：9和5合起来是多少？从实际问题剥离出简单的数学问题，就是思考、寻找具体问题情境中的抽象结构、建立数学模型的过程，是横向数学化

接着，列出算式“9+5”，探索：9+5应该怎样计算？这是纵向数学化活动，是创造算法化的过程

案例：教学二年级内容“今晚开家长会，据统计，将有81位家长到会

会议安排在会议室进行

会议室要布置桌子，每张桌子可以坐6位家长（教师画了一个长方形代表桌子，桌子周围画了6个半圆代表人）

问：需要多少张桌子？”学生甲：按照老师的提示，一张桌子周围画6个人，这样画了13张桌子，在第14张桌子周围画了3个人

得出结论，需要14张桌子

学生乙：开始像甲一样画桌子，画了2张桌子后，他改变了方式，“太麻烦了”，用算式来做吧，81÷6=13……3

得出结论，需要14张桌子

学生丙：直接用算式来算，81÷6=13……3

得出结论

学生甲仅仅停留在实物操作的层面

当然，实物操作是实现数学化的重要的可视化的工具，也是必要的阶段

但是，仅仅停留在这样一个层面上，学生的思维就达不到较高的水平

没有抽象化和符号化，就没有数学

学生丙处在符号操作的层面

仅仅用算式来表示，没有经过动手操作的过程，当寻求算式的意义的时候，往往会出现问题

比如，有的学生会回答说，需要13张桌子，还余3个人

其错误的原因在于没有经历数学化的完整过程

只有学生乙经历了数学化的完整过程

先进行实物操作，然后用符号（即算式）来表示

由于有了动手操作的基础，学生自然理解了算式的实际意义

所以，当得到算式时，学生会得出需要14张桌子的结论

案例：教学二年级“寻找余数比除数小的规律”片断一：师：余数与除数之间有什么关系？我们先来计算几道有余数的除法，再来看看余数的大小与除数有什么关系？（学生计算）17÷4=4……1，18÷4=4……219÷4=4……3师启发学生得出“余数比除数小”师：为什么余数一定要比除数小？学生大都说“不知道”

片断二：学生经历脑中分豆子，然后师：现在我们不用实物分豆子，也不用脑中分豆子了，用算式来分豆子，将17粒豆子平均分到4个盘子里，怎样用算式表示？18粒呢？19粒呢？生思考并写出相应的算式

师板书：17÷4=4……1，18÷4=4……219÷4=4……3每写出一个算式后，请学生寻求算式的意义

师：请同学们观察以上算式，你发现了什么？你能对你的发现进行解释吗？学生汇报了好多发现后，有一个学生说：“余数要比除数小，因为，如果余数比除数大的话，还可以继续分

”分析：片断一明确提出了目标——找余数和除数的关系

师生共同进行有余数除法的运算，通过观察算式，得到了余数比除数小的规律

学生是通过纵向的数学化得到这一规律的

由于学生缺了横向数学化的基础，丢掉了对意义的寻求，少了探索的时空，因而，学生没有真正理解余数的意义，也就很难理解为什么会有这一规律了

片断二就比较好地解决了这个问题，帮助学生顺利地实现了数学化

教师提供给学生活动的时间，提供的问题也具有一定的开放性，教师不断地维持对意义的寻求，从而，教师引起并保持了学生的高认知水平

从横向数学化的角度来说，每看到一个算式后，教师都让学生结合分豆子来解释算式的意义，因而，在学生的头脑中加深了对余数的意义的理解，“余数就是剩下的不能再分的豆子”，其潜在的台词就是“余下的豆子数比盘子数要少”，更进一步的、稍稍抽象的台词是“余数要比除数小”

从纵向数学化的角度来看，通过比较、不完全归纳发现，余数1，2，3，要比除数小，因为余下的豆子数比盘子数要少，否则就可以继续分了

在寻求余数的意义的同时，也在寻求“余数比除数小”的原因，也在寻求余数比除数小的规律

余数的意义是基础，它有待升华为余数的规律，余数的规律要回到现实中去，必须寻求对余数意义的理解

数学化应注意的几个问题（1）创设有数学含量的情境创设有数学含量的教学情境能激发学生的学习兴趣，为学生提供良好的学习数学环境

顾冷沅指出：“引起兴趣的有内容本身、内容的表达方式以及内容的学习方式等，但一味追求兴趣的教学活动也会出现偏颇，人们注意到，知识不总是好玩的，也不总是容易的，学习在本质上是一个不断克服困难的过程

对于学生的终身学习而言，长效的核心知识必须作为学生学习的真正主干

”数学课堂创设适宜的情境要根据具体内容，帮助学生更好地学习和理解数学知识，为学生学习数学服务，促使学生用数学的眼光关注情境，为数学知识和技能的学习提供支撑，为数学思维的发展提供土壤

数学课要上出数学味道来，体现数学的本源性

案例：老师在教整数加法交换律时，创设了这样一个情境：老师准备了一个带长柄的勺子，请一名学生拿着它的末端舀汤放到自己的嘴里

一个学生上来试了试，怎么也喝不到汤

然后老师安排4个学生，分成两组，看哪个小组先喝到汤

学生逐渐明白，只有把汤送到对方饿嘴里，才能喝到

然后老师说，这就是生活中的交换律

这个情境的确生活化了，学生的活动也很热闹，但是，这体现出加法交换律了吗？这是一种误导，生活中的交换律和数学中的交换律有着本质的区别，不可将交换律庸俗为生活中的交换

这个情境本身缺少数学的含量，缺失了数学的本质

案例：教学北师大版三年级《小树有几棵》教师利用多媒体出示教学情境图，引导学生观察

师：同学们，你们知道植树造林对人类的好处吗?每年我们学校都要植树，那么今天我们来看一看，植树的活动中有哪些数学问题

(设计意图创设学生所熟悉的植树这一生活情境，密切数学与现实生活的联系，同时对学生进行环保教育

)2．请你认真观察图后和同桌说说你看到了什么，(一共有几捆小树?每捆有几棵?)你能提出哪些数学问题?引导学生提出问题“小树一共有多少棵?”

学生列出算式20×3，然后尝试计算

教师结合生活具体情境，从实物-问题-算式，学生经历了横向数学化的过程，同时培养学生提出问题和解决问题的意识和能力

这情境数学含量高，又不花哨

（2）遵循由实物操作到表象操作再到符号操作的认知过程布鲁纳关于儿童智力发展的研究表明，儿童的认知发展需要经历三个阶段：动作认知、图形认知和符号认知，对应着思维发展的三种水平：操作水平、表象水平和分析水平

因而，对于小学生而言，一般要经历从实物到表象再到符号的三个操作阶段

但是，对于程度较好的学生，完全有能力直接进入形式化的符号操作阶段

另外，对于纵向的数学化而言，自然是从符号到符号的操作，但是，我们也应该看到，其最初的符号操作也还是依赖于直观和实物的

案例：学生计算“9+5”时，处在动作认知水平的学生，可能会先数出9根和5根小棒，然后合在一起数，得出14根，他们利用实物的图式，还摆脱不了数数的具体操作；处在图形认知水平的学生，可能会先画出两堆小圆圈，一堆9个一堆5个，然后从5个中划出1个小圆圈并到另一堆，变成10个一堆和4个一堆，得出14，他们利用图形的图式，已经摆脱了动作，可以借助表象进行思维了；处在符号认知水平的学生，可以进行抽象的思维：9+1=10，10+4=14

他们利用符号的图式，有良好的数感和符号感

（3）寻求形式化的符号的意义完成从实物操作上升到符号操作这一数学化的过程，这只是完成了认知过程的一个方面

另一方面，要寻求符号表示的意义，形式化的知识只有回到现实中，才能实现自身的意义，也才能完成认知的使命；这也是保持高认知水平的需要，不断地追求符号的意义，才能激发学生认知的动力，提升认知的水平

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