自然对数复数的对数问题：求复数 的对数，规定 为 的幅角主值
解答：设有一复数 ，其通过指数函数 将 映射为
∴由复数相等的定义，得到：所以 ，即记 为对数函数，可以看到在复数中对数函数是多值函数（即一个自变量对应多个因变量），并且有无数个分支
特别地，当k=0时，称 为对数函数的主值支，此时用记号 来表示
即w的实部为z的模取自然对数，虚部为z的幅角主值
这就是当真数为复数时的对数运算公式
注意，因为实部需要对z的模取自然对数，因此r≠0
我们知道在复平面上只有0这个复数的模为0，其他任何复数的模都大于0，所以在复数域中，除了z=0以外所有的复数都可以求对数
例：求ln(-1)解：-1=cosπ+isinπ，其模为1，幅角主值为π
代入公式得：由此可见 ，即 ，这就是欧拉恒等式
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