中国数学史数学繁荣北宋时期960年，北宋的建立结束了五代十国割据的局面
北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用
1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，1213年鲍擀之又进行翻刻
这些都为数学发展创造了良好的条件
11世纪~14世纪从11～14世纪约300年期间，出现了一批著名的数学家和数学著作，如贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》等，很多领域都达到古代数学的高峰，其中一些成就也是当时世界数学的高峰
从开平方、开立方到四次以上的开方，在认识上是一个飞跃，实现这个飞跃的就是贾宪
杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪“增乘开平方法”、“增乘开立方法”；在《详解九章算法》中载有贾宪的“开方作法本源”图、“增乘方法求廉草”和用增乘开方法开四次方的例子
根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表，创造了增乘开方法
这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响，其中贾宪三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年
把增乘开方法推广到数字高次方程（包括系数为负的情形）解法的是刘益
《杨辉算法》中“田亩比类乘除捷法”卷，介绍了原书中22个二次方程和 1个四次方程，后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子
秦九韶是高次方程解法的集大成者，为了适应增乘开方法的计算程序，奏九韶把常数项规定为负数，把高次方程解法分成各种类型
当方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根的小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母，常数为分子来表示根的非整数部分，这是《九章算术》和刘徽注处理无理数方法的发展
在求根的第二位数时，秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第二位数的试除法，这比西方最早的霍纳方法早500多年
元代天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》中解决了三次函数的内插值问题
公式
用天元（相当于x）作为未知数符号，立出高次方程，古代称为天元术，这是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题
现存最早的天元术著作是李冶的《测圆海镜》
朱世杰的四元高次联立方程组表示法是在天元术的基础上发展起来的，他把常数放在中央，四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上，其他各项放在四个象限中
朱世杰的最大贡献是提出四元消元法，其方法是先择一元为未知数，其他元组成的多项式作为这未知数的系数，列成若干个一元高次方程式，然后应用互乘相消法逐步消去这一未知数
重复这一步骤便可消去其他未知数，最后用增乘开方法求解
这是线性方法组解法的重大发展，比西方同类方法早400多年
宋元时期中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期
宋元明的历史文献中载有大量这个时期的实用算术书目，其数量远比唐代为多，改革的主要内容仍是乘除法
与算法改革的同时，穿珠算盘在北宋可能已出现
宋元数学家都在不同程度上反对理学家的象数神秘主义
秦九韶虽曾主张数学与道学同出一源，但他后来认识到，“通神明”的数学是不存在的，只有“经世务类万物”的数学；莫若在《四元玉鉴》序文中提出的“用假象真，以虚问实”则代表了高度抽象思维的思想方法；杨辉对纵横图结构进行研究，揭示出洛书的本质，有力地批判了象数神秘主义
所有这些，无疑是促进数学发展的重要因素
中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期
宋元明的历史文献中载有大量这个时期的实用算术书目，其数量远比唐代为多
改革的主要内容仍是乘除法
“留头乘”最早见于朱世杰《算学启蒙》
“九归”最早出现在沈括的《梦溪笔谈》，杨辉在《乘除通变本末》（1274）、朱世杰在《算学启蒙》中进一步把它完善
“归除”最早见于《算学启蒙》，“撞归”、“起一”是朱世杰首先提出来的，丁巨（著有《丁巨算法》，1355）、何平予（著有《详明算法》，1373）和贾亨（著有《算法全能集》）把它具体化
“留头乘”与“归除”的出现，使乘除法不需任何变通便可在一个横列里进行，与现今珠算的方法完全一样
与算法改革的同时，穿珠算盘在北宋已可能出现
但如果把现代珠算看成是既有穿珠算盘，又有一套完善的算法和口诀，那么应该说它最后完成于元代
宋元数学的繁荣，是社会经济发展和科学技术发展的必然结果，是传统数学发展的必然结果
此外，数学家们的科学思想与数学思想也是十分重要的
宋元数学家都在不同程度上反对理学家的象数神秘主义
李冶曾批评朱熹著作，说它不通的地方很多
他指出，说数学难认识是可以的，但说数学不能认识就不对；他认为数学来源于自然界，“苟能推自然之理”就可以“明自然之数”
秦九韶虽曾主张数学与道学同出一源，但他后来也认识到，“通神明”的数学是不存在的，只有“经世务类万物”的数学
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